Question

13．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（3，4），點(diǎn)p（x，y）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤3}\\{x-y-1≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，則|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP的最大值是$\frac{11}{5}$．

Answer 1

分析 作出可行域，根據(jù)向量投影的定義判斷最優(yōu)解的位置，計(jì)算最優(yōu)解，代入投影公式計(jì)算．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖所示：

∵k_OA=$\frac{4}{3}$，k_BC=-1，
∴當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，$\overrightarrow{OP}$在$\overrightarrow{OA}$上的投影最大，即|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP最大．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得B（1，2）．
∴$\overrightarrow{OP}$=（1，2），$\overrightarrow{OA}$=（3，4），$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}$=11．
∴|$\overrightarrow{OP}$|cos∠AOP=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}|}$=$\frac{11}{5}$．
故答案為：$\frac{11}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的投影，簡單線性規(guī)劃，借助幾何意義判斷最優(yōu)解是關(guān)鍵．