Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意的a∈[1，4），都存在x₀∈（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）根據(jù)a的范圍，求出f（x）的最大值，等價于13-3a+e^a+2a＞m，e^a-a+13＞m恒成立，令g（a）=e^a-a+13，a∈[1，4），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（a）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax+4，則f′（x）=x²-a，
當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0對x∈R成立，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R；
當(dāng)a＞0時，f′（x）=x²-a=（x+$\sqrt{a}$）（x-$\sqrt{a}$），
令f′（x）＞0，得：x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$；
令f′（x）＜0，得：-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，-$\sqrt{a}$）和（$\sqrt{a}$，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間為：（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）；
（Ⅱ）因?yàn)閍∈[1，4），∴$\sqrt{a}$∈[1，2），
由（Ⅰ）知函數(shù)在（2，3]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（3）=13-3a，
若對任意的a∈[1，4），都存在x₀（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，
等價于13-3a+e^a+2a＞m，e^a-a+13＞m恒成立．
令g（a）=e^a-a+13，a∈[1，4），
當(dāng)a∈[1，4）時，g′（a）=e^a-1≥e-1＞0，
所以當(dāng)a∈[1，4）時，g（a）≥g（1）=e+12，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是：m≤e+12．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．