Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)m＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，2m]上的最大值；
（3）證明：對(duì)?n∈N*，不等式ln（1+n）^e＜n+1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）結(jié)合（1）通過(guò)m與e的大小討論函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最大值．
（3）由（1）知$f（x）≤f（e）=\frac{1}{e}-1$即$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}⇒lnx≤\frac{1}{e}x$當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)等號(hào)成立，取$x=\frac{1+n}{n}$，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則推出結(jié)果即可．

解答 （本題滿分13分）
解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-1的定義域?yàn)椋簒＞0；
由函數(shù)可得$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}＞0$解得0＜x＜e，
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，（e，+∞）上單調(diào)遞減；…（3分）
（2）①當(dāng)2m≤e即$0＜m≤\frac{e}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，2m]上單調(diào)遞增，
∴$f{（x）_{max}}=f（{2m}）=\frac{ln2m}{2m}-1$；…（5分）
②當(dāng)m≤e＜2m即$\frac{e}{2}＜m≤e$時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，e）上單調(diào)遞增，（e，2m）上單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{max}}=f（e）=\frac{lne}{e}-1=\frac{1}{e}-1$；…（7分）
③當(dāng)m＞e時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，2m]上單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{max}}=f（m）=\frac{lnm}{m}-1$；…（9分）
（3）由（1）知$f（x）≤f（e）=\frac{1}{e}-1$即$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}⇒lnx≤\frac{1}{e}x$當(dāng)且僅當(dāng)x=e時(shí)等號(hào)成立
取$x=\frac{1+n}{n}$得$ln\frac{1+n}{n}＜\frac{1}{e}•\frac{1+n}{n}=\frac{1}{e}•（{1+\frac{1}{n}}）$…（11分）
∴$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{1+n}{n}＜\frac{1}{e}•（{n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}}）$．
即$ln\frac{1+n}{1}＜\frac{1}{e}•（{n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}}）$，
∴$eln（{1+n}）＜n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}⇒ln{（{1+n}）^e}＜n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$…（13分）
（其他證明方法相應(yīng)給分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是難題．