Question

4．已知向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sinωx，cosωx），\overrightarrow b=（cosωx，-cosωx），（ω＞0）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值；
（2）若$x∈（\frac{7π}{24}，\frac{5π}{12}）$，f（x）=-$\frac{3}{5}$，求cos4x的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a使得af（x）+1≥0在$x∈[0，\frac{π}{4}]$上恒成立？若存在請求出a的取值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)向量的數(shù)量積和二倍角公式和兩角的差的正弦公式，以及周期的定義即可求出，
（2）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和余弦公式即可求出，
（3）先求出f（x）的范圍，再分類討論即可求出a的取值范圍

解答 解：（1）由題意，$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1+cos2ωx}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$，
∵兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{4}$，
∴$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{2}$，
∴ω=2．
（2）由（1）得，$f（x）=sin（4x-\frac{π}{6}）=-\frac{3}{5}$，
∵$x∈（\frac{7π}{24}，\frac{5π}{12}）$，∴$4x-\frac{π}{6}∈（π，\frac{3}{2}π）$，
∴$cos（4x-\frac{π}{6}）=-\frac{4}{5}$，
∴$cos4x=cos（4x-\frac{π}{6}+\frac{π}{6}）$=$cos（4x-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}-sin（4x-\frac{π}{6}）sin\frac{π}{6}$=$（-\frac{4}{5}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-（-\frac{3}{5}）×\frac{1}{2}$=$-\frac{{2\sqrt{3}}}{5}+\frac{3}{10}$．
（3）由f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）
∵$x∈[0，\frac{π}{4}]$，
∴4x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5}{6}$π]，
∴f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∵實(shí)數(shù)a使得af（x）+1≥0在$x∈[0，\frac{π}{4}]$上恒成立，
當(dāng)f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，0）時，a≤-$\frac{1}{f（x）}$，即a≤2，
當(dāng)f（x）∈（0，1]，a≥$\frac{1}{f（x）}$，即a≥1，
當(dāng)f（x）=0時，a取任何數(shù)都成立，
綜上所述a的取值范圍為[1，2]

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量數(shù)量積的運(yùn)算和三角函數(shù)的化簡以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和函數(shù)的恒成立的問題，屬于中檔題