Question

7．已知$\overrightarrow{a}$=2（cosωx，cosωx），$\overrightarrow$=（cosωx，$\sqrt{3}$sinωx）（其中0＜ω＜1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
（1）若直線x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，先列表再作出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-π，π]上的圖象．
（2）求函數(shù)y=f（x），x∈[-π，π]的值域．

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再用用五點法作函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-π，π]上的圖象．
（2）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)y=f（x），x∈[-π，π]的值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx+1=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
若直線x=$\frac{π}{3}$是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，則2ω•$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=$\frac{3k}{2}$+$\frac{1}{2}$，k∈Z，
結(jié)合0＜ω＜1，可得ω=$\frac{1}{2}$，故f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1．
列表：

x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{5π}{6}$	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{7π}{6}$
x	-π	-$\frac{2π}{3}$	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	0	-1	1	3	1	0

函數(shù)f（x）在[-π，π]的圖象如圖所示：

（2）根據(jù)x∈[-π，π]，可得x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，故函數(shù)f（x）的值域為[-1，3]．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，用五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．