【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）討論極值點的個數(shù)；

（Ⅱ）若是的一個極值點，且，證明：

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時,無極值點；當(dāng)時,有1個極值點；

當(dāng)或,有2個極值點.

（Ⅱ）見解析

【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)可得,再分與兩種情況進行討論即可.

(Ⅱ)由(Ⅰ)以及可得,再求得關(guān)于的解析式,再令,構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo)分析的單調(diào)性與最值證明即可.

解：（Ⅰ）由題得,的定義域為,

ⅰ.若,則,所以當(dāng)時,單調(diào)遞減,

當(dāng)時,單調(diào)遞增.

所以,是唯一的極小值點,無極大值,故此時有且僅有1個極值點.

ⅱ. ,令

①當(dāng)時,,則當(dāng)時,單調(diào)遞增,

當(dāng),單調(diào)遞減.

所以,分別是極大值點和極小值點,故此時有兩個極值點.

②當(dāng)時,是的不變號零點,且

故此時在上單調(diào)遞增,無極值點.

③當(dāng)時,,則時,單調(diào)遞增,

當(dāng)時,單調(diào)遞減.

所以,分別是極小值點和極大值點,此時有2個極值點.

綜上,當(dāng)時,無極值點；當(dāng)時,有1個極值點；

當(dāng)或,有2個極值點.

（Ⅱ）證明：若是的一個極值點,

由（Ⅰ）知,或,且,

,

令,則,所以

故

所以,當(dāng)時,單調(diào)遞增；當(dāng)時,單調(diào)遞減,

所以是唯一極大值點也是最大值點,即 .

從而,即.（證畢）

練習(xí)冊系列答案
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（1）求；

（2）求抽取的人的年齡的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；

（3）從該市大學(xué)生、軍人、醫(yī)務(wù)人員、工人、個體戶 五種人中用分層抽樣的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分別記為1～5組，從這5個按年齡分的組和5個按職業(yè)分的組中每組各選派1人參加知識競賽，分別代表相應(yīng)組的成績，年齡組中1～5組的成績分別為93，96，97，94，90，職業(yè)組中1～5組的成績分別為93，98，94，95，90．

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