Question

【題目】已知點(diǎn)，是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓心，線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)為．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)與軸的正半軸交于點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)（不經(jīng)過點(diǎn)），且,證明：直線經(jīng)過定點(diǎn)，并寫出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過定點(diǎn).

【解析】

（1）由橢圓定義，得到點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，求得的值，進(jìn)而得到的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）聯(lián)立方程組，利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，得到，，再由，根據(jù)，即可求解實(shí)數(shù)m的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

（1）圓的圓心，半徑，

由垂直平分線性質(zhì)知：，

故，

由橢圓定義知，點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)：，焦距為，

則，，，，

所以的方程為.

（2）由已知得，由得，

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，，

，，

由得，即，

所以，解得或，

①當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，舍去.

②當(dāng)時(shí)，顯然有，直線經(jīng)過定點(diǎn).