Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，且F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若F（x）≥1在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，存在x₁、x₂∈[0，+∞），使f（x₁）=g（x₂）成立，求x₂-x₁的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，將恒成立問題化為最值問題；
（2）化簡(jiǎn)x₂-x₁后觀察形式，利用函數(shù)單調(diào)性求解．

解答： 解：（1）F（0）=1，F(xiàn)′（0）=2-a，F(xiàn)″（x）=e^x-sinx＞0，
從而F′（x）在[0，+∞）上遞增；
①當(dāng)a≤2時(shí)，F(xiàn)′（x）≥F′（0）=2-a≥0，
F（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則F（x）≥F（0）=1，符合題意；
②當(dāng)a＞2時(shí)，∵F′（0）=2-a＜0，
則存在b∈（0，+∞），F(xiàn)（x）在[0，b）上是減函數(shù)，
則當(dāng)x∈（0，b）時(shí)，F(xiàn)（x）＜1，不符合題意．
故a≤2．
（2）當(dāng)a=

1

3

時(shí)，x₂-x₁=3（ex1+sinx1-

1

3

x1），
由（1）知，F(xiàn)（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴3（ex1+sinx1-

1

3

x1）=3F（x）≥3F（0）=3，
∴x₂-x₁的最小值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)可用于判斷單調(diào)性，進(jìn)而確定其極值與最值，同時(shí)考查了恒成立問題的轉(zhuǎn)化．