Question

已知動圓過定點(,0)，且與直線x=-相切，其中p＞0：

（1）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（2）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π＝時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

解：（1）設動圓圓心為M(x,y)，則,

∴y²=2px(p＞0).

（2）設A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁,x₂≠0，所以直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，顯然x₁=,x₂=，

將y=kx+b代入y²=2px去x得ky²-2py+2pb=0，

由韋達定理知，?

y₁+y₂=,y₁·y₂=.①

a.當θ=時，?

即α+β=，tanα·tanβ=1，

∴=1,即x₁x₂-y₁y₂=0.

∴y₁y₂=4p².

由①式知=4p²,∴b=2pk.

因此，直線AB的方程可表示為y=kx+2pk，

即k(x+2p)-y=0,∴直線AB恒過定點(-2p,0).

b.當θ≠時，由α+β=θ得

tanθ=tan(α+β)=，

將①式代入上式整理化簡，得tanθ=,∴b=+2pk，

此時，直線AB的方程可表示為

y=kx++2pk，即k(x+2p)-(y-)=0.

∴直線AB恒過定點(-2p,).

根據(jù)a、b可知，當θ=時，AB恒過定點(-2p,0)；

當θ≠時，直線AB恒過定點(-2p,).