Question

4．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{m+8}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求m的值；
（2）設點A為橢圓C的上頂點，問是否存在橢圓C的一條弦AB，使直線AB與圓（x-1）²+y²=r²（r＞0）相切，且切點P恰好為線段AB的中點？若存在，其滿足條件的所有直線AB的方程和對應的r的值？若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得a²=m+8，b²=m，c²=a²-b²=8，$\frac{8}{m+8}$=$\frac{2}{3}$，由此能求出m的值．
（2）橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，A（0，2），線AB的斜率不存在時，直線AB的直線為x=0，符合題意．當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+2，P（x₀，y₀），代入橢圓方程．得整理，得：（1+3k²）x²+12kx=0，由此利用直線方程、點到直線的距離公式，能求出結果．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{m+8}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1（m＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a²=m+8，b²=m，c²=a²-b²=8，
∵離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴$\frac{8}{m+8}$=$\frac{2}{3}$，
解得m=4．
（2）由（1）知橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，∴A（0，2），
假設存在橢圓C的一條弦AB滿足條件，
當直線AB的斜率不存在時，直線AB的直線為x=0，符合題意，
此時，P（0，0），r=1．
當直線AB斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+2，P（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=12}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，消去y，整理，得：（1+3k²）x²+12kx=0，
解得x=0，或x=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，∴${x}_{0}=-\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，${y}_{0}=\frac{2}{1+3{k}^{2}}$，
由$\frac{\frac{2}{1+3{k}^{2}}-0}{-\frac{6k}{1+3{k}^{2}}-1}$×k=-1，得3k²+4k+1=0，
解得k=-1或k=-$\frac{1}{3}$．
∴直線AB：y=-x+2，r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或直線AB：y=-$\frac{1}{3}x+2$，r=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
綜上，存在這樣的弦AB，直線AB：x=0，r=1，
或直線AB：y=-x+2，r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，或直線AB：y=-$\frac{1}{3}x+2$，r=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查實數值的求法，考查直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線方程的性質的合理運用．