Question

19．觀察研究某種植物的生長速度與溫度的關系，經過統(tǒng)計，得到生長速度（單位：毫米/月）與月平均氣溫的對比表如下：

溫度t（℃）	-5	0	6	8	12	15	20
生長速度y	2	4	5	6	7	8	10

（1）求生長速度y關于溫度t的線性回歸方程；（斜率和截距均保留為三位有效數字）；
（2）利用（1）中的線性回歸方程，分析氣溫從-5⁰C至20⁰C時生長速度的變化情況，如果某月的平均氣溫是2⁰C時，預測這月大約能生長多少．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\overline x}）（{{y_i}-\overline y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\overline x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）由題意計算$\overline{t}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，即可寫出回歸方程；
（2）利用（1）的線性回歸方程，作出概率分析和預測．

解答 解：（1）由題可知，
$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$×（-5+0+6+8+12+15+20）=8
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$×（2+4+5+6+7+8+10）=6，
$\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}}=-10+0+30+48+84+120+200=472$，
$\sum_{i=1}^7{t_i^2}=25+0+36+64+144+225+400=894$，
則$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^7{{t_i}{y_i}-7\overline{ty}}}}{{\sum_{i=1}^7{t_i^2-7{{\overline t}^2}}}}=\frac{472-7×48}{894-7×64}≈0.305$，
$\hat a=\overline y-\hat b\overline t≈6-0.305×8=3.560$，
于是生長速度y關于溫度t的線性回歸方程為：
$\hat y=3.560+0.305t$；
（2）利用（1）的線性回歸方程可以發(fā)現，
氣溫從月平均氣溫從-5⁰C至20⁰C時該植物生長速度逐漸增加，
如果某月的平均氣溫是2⁰C時，預測這月大約能生長
3.56+0.305×2=4.17mm．

點評 本題考查了線性回歸方程求法與應用問題，是基礎題目．