Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個頂點到左焦點的距離等于．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)經(jīng)過點的直線交橢圓于兩點，弦的中垂線交軸于點．

①求實數(shù)的取值范圍；

②若，求實數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①,②.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出關(guān)于的方程組，解出即可得橢圓的方程；

（2）由題意得，設(shè)直線的方程為，代入橢圓中，根據(jù)韋達定理可求出的取值范圍，①設(shè)的中點為，求出點的坐標，根據(jù)直線斜率的關(guān)系化簡可得，結(jié)合的范圍即可求出的取值范圍；②得，聯(lián)立方程可得，根據(jù)韋達定理可得，，即可求出結(jié)果.

（1）依題意可得，解得，，

故橢圓方程為.

（2）由題意得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，

整理得，

由，解得，

設(shè)，

∴，，

①設(shè)的中點為，

則有，則，

當時，即，即，，
解得，

當時，可得，符合，

∴，由，解得，

即實數(shù)的取值范圍為.

②由題意得且，

設(shè)或點的坐標為

由，

消去，可得，∴，也是此時方程的兩個根，

∴，，

∴，解得，

∴.