Question

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)時(shí)，若，求的值；

（3）若，且對(duì)任何不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；（2）所以或；（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）時(shí)，為確定的函數(shù)，要證明它具有奇偶性，必須按照定義證明，若要說(shuō)明它沒(méi)有奇偶性，可舉一特例，說(shuō)明某一對(duì)值與不相等（不是偶函數(shù)）也不相反（不是奇函數(shù)）．（2）當(dāng)時(shí)，為，這是含有絕對(duì)值符號(hào)的方程，要解這個(gè)方程一般是分類(lèi)討論絕對(duì)值符號(hào)里的式子的正負(fù)，以根據(jù)絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)，變成通常的方程來(lái)解．（3）不等式恒成立時(shí)要求參數(shù)的取值范圍，一般要把問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如分離參數(shù)法，或者轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．即為，可以先把絕對(duì)值式子解出來(lái)，這時(shí)注意首先把分出來(lái)，然后討論時(shí)，不等式化為，于是有，即，這個(gè)不等式恒成立，說(shuō)明，這時(shí)我們的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，求函數(shù)的最小值．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)（2分）

所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)   （4分）

（2）當(dāng)時(shí)，，

由得  （1分）

即  （3分）

解得   （5分）

所以或    （6分）

（3）當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，

故只需考慮，此時(shí)原不等式變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014022807033754239002/SYS201402280704461375541091_DA.files/image024.png"> （1分）

即

故      

又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；（2分）

對(duì)于函數(shù)

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，又，

所以，此時(shí)的取值范圍是（3分）

②當(dāng)，在上，，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)要使存在，

必須有，此時(shí)的取值范圍是（4分）

綜上，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是

當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；

當(dāng)時(shí)，的取值范圍是    （6分）

考點(diǎn)：（1）函數(shù)的奇偶性；（2）含絕對(duì)值的方程；（2）含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題．