11.在△ABC中,$B=\frac{π}{6}$,BC邊上的高等于$\frac{{\sqrt{3}}}{9}BC$,則cosA=( 。
A.$\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$B.$-\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$C.$-\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$D.$\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$

分析 由題意,設(shè)BC=x,那么BC邊上的高等于$\frac{\sqrt{3}}{9}x$,利用勾股定理建立關(guān)系,求出AC,AB,在利于余弦定理求cosA的值.

解答 解:由題意,設(shè)BC=x,那么BC邊上的高AD=$\frac{\sqrt{3}}{9}x$,
∵∠B=30°,
∴BAD=60°,AB=$\frac{AD}{sin30°}=\frac{\sqrt{3}}{18}x$,
BD=AB•sin60°=$\frac{1}{12}$x,
則DC=x-$\frac{1}{12}x$=$\frac{11}{12}x$.
那么:$A{C}^{2}=(\frac{11}{12}x)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{9}x)^{2}$.
由余弦定理可得:cosA=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2AC•AB}$=$-\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$.
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查△ABC的邊長(zhǎng)與角的關(guān)系的求法,是中檔題,解題時(shí)要注意余弦定理的合理運(yùn)用.

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