4.直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(1)求證:AC⊥平面BB1C1C;
(2)若P為A1B1的中點(diǎn),求證:DP∥平面BCB1,且DP∥平面ACB1

分析 (1)推導(dǎo)出BB1⊥AC,BC⊥AC,由此能證明 AC⊥平面BB1C1C.
(2)推導(dǎo)出DCB1P為平行四邊形,由此能證明DP∥面ACB1,同理,DP∥面BCB1

解答 證明:(1)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,
∴BB1⊥AC.…(2分)
又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2,
∴AC=$\sqrt{2}$,∠CAB=45°,∴BC=$\sqrt{2}$,∴BC⊥AC.…(5分)
又BB1∩BC=B,BB1,BC?平面BB1C1C,
∴AC⊥平面BB1C1C.…(7分)
(2)∵由P為A1B1的中點(diǎn),又PB1∥AB,且PB1=$\frac{1}{2}$AB.…(9分)
又∵DC‖AB,DC=$\frac{1}{2}$AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1,…(11分)
∴DCB1P為平行四邊形,從而CB1∥DP.
又CB1?面ACB1,DP?面ACB1,∴DP∥面ACB1…(13分)
同理,DP∥面BCB1.  …(14分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的證明,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間中線線、線面、面面關(guān)系的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求{an}的通項(xiàng)公式an
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19.下列四個(gè)命題:
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③某校高三一級(jí)部和二級(jí)部的人數(shù)分別是m、n,本次期末考試兩級(jí)部;數(shù)學(xué)平均分分別是a、b,則這兩個(gè)級(jí)部的數(shù)學(xué)平均分為$\frac{na}{m}+\frac{mb}{n}$.
④某中學(xué)采用系統(tǒng)抽樣方法,從該校高一年級(jí)全體800名學(xué)生中抽50名學(xué)生做牙齒健康檢查,現(xiàn)將800名學(xué)生從001到800進(jìn)行編號(hào),已知從497--512這16個(gè)數(shù)中取得的學(xué)生編號(hào)是503,則初始在第1小組00l~016中隨機(jī)抽到的學(xué)生編號(hào)是007.
其中真命題的個(gè)數(shù)是(  )
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