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6.如圖,OAB是一塊半徑為1,圓心角為π3的扇形空地.現(xiàn)決定在此空地上修建一個(gè)矩形的花壇CDEF,其中動(dòng)點(diǎn)C在扇形的弧^AB上,記∠COA=θ.
(Ⅰ)寫(xiě)出矩形CDEF的面積S與角θ之間的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)角θ取何值時(shí),矩形CDEF的面積最大?并求出這個(gè)最大面積.

分析 (Ⅰ)先把矩形的各個(gè)邊長(zhǎng)用角α表示出來(lái),進(jìn)而表示出矩形的面積;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)函數(shù),利用角α的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求矩形面積的最大值.

解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)因?yàn)椋篛F=cosθ,CF=sinθ,
所以:OE=DEtanπ3=CF3=sinθ3EF=OFOE=cosθsinθ3,…(2分)
所以:S=EFCF=cosθsinθ3sinθ=sinθcosθ33sin2θ,θ0π3…(4分)
(Ⅱ)S=sinθcosθ33sin2θ
=12sin2θ+36cos2θ36=3332sin2θ+12cos2θ36
=33sin2θ+π636,…(8分)
因?yàn)椋?θ∈(0,\frac{π}{3})2θ+\frac{π}{6}∈(\frac{π}{6},\frac{5π}{6})(dāng)2θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}θ=\frac{π}{6}時(shí),矩形CDEF的面積S取得最大值\frac{{\sqrt{3}}}{6}$.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型,解題關(guān)鍵是根據(jù)圖形建立起三角模型,將三角模型用所學(xué)的恒等式變換公式進(jìn)行化簡(jiǎn),屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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16.一個(gè)四面體的三視圖都是等腰直角三角形,如圖所示,則這個(gè)幾何體四個(gè)表面中最小的一個(gè)表面面積是(  )
A.2\sqrt{3}B.\sqrt{6}C.1D.\frac{{\sqrt{6}}}{3}

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17.在直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:x2+y2=4與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A的直線AM,AN分別與圓O交于M,N兩點(diǎn).
( I)若kAM=2,kAN=-\frac{1}{2},求△AMN的面積;
( II)過(guò)點(diǎn)P(3\sqrt{3},-5)作圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為E、F,求\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}

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14.在銳角△ABC中,角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若\sqrt{3}b=2csinB,則角C等于( �。�
A.30°B.45°C.60°D.120°

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1.如圖,在△ABC中,已知AB=5,AC=6,\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AC}=4,則\overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC}=(  )
A.-45B.13C.-13D.-37

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11.已知函數(shù)f(x)=cos4x-sin4x+4\sqrt{3}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}cosx.
(Ⅰ)求f(x)的周期;
(Ⅱ)若f(\frac{α}{2})=\frac{2}{3},求f(α+\frac{π}{3})的值.

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18.已知\overrightarrow{a}\overrightarrow是非零向量且滿足(\overrightarrow{a}-6\overline)⊥\overrightarrow{a},(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow)⊥\overrightarrow,則\overrightarrow{a}\overrightarrow的夾角是(  )
A.\frac{π}{6}B.\frac{π}{3}C.\frac{2}{3}πD.\frac{5}{6}π

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15.下面使用了類(lèi)比推理正確的是( �。�
A.若a、b∈R,則a-b=0⇒0⇒a=b,推出:若a,b∈C,則a-b=0⇒a=b
B.若a、b∈R,則a2+b2=0⇒a=b=0,推出:若a、b∈C,則a2+b2=0⇒a=b=0
C.若a、b∈R,則a-b>0⇒a>b,推出:若a、b∈C,則a-b>0⇒a>b
D.若x∈R,則|x|<1⇒-1<x<1,推出:若z∈C,則|x|<1⇒-1<x<1

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16.底面半徑為\sqrt{3},母線長(zhǎng)為2的圓錐的體積為π.

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同步練習(xí)冊(cè)答案