Question

18．已知$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$是非零向量且滿足（$\overrightarrow{a}$-6$\overline$）⊥$\overrightarrow{a}$，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2}{3}π$
• D． $\frac{5}{6}π$

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的充要條件便可得出$（\overrightarrow{a}-6\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0，（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）•\overrightarrow=0$，進行數(shù)量積的運算，并整理即可得到$|\overrightarrow{a}|=6|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞①$，$3|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞②$，這樣兩式聯(lián)立即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，從而得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)條件：$（\overrightarrow{a}-6\overrightarrow）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，$（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）•\overrightarrow=2\overrightarrow{a}•\overrightarrow-3{\overrightarrow}^{2}=0$；
∵$|\overrightarrow{a}|≠0，|\overrightarrow|≠0$；
∴$|\overrightarrow{a}|=6|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞①$，$3|\overrightarrow|=2|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞②$；
∴$3|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|=12|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|co{s}^{2}＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$；
∴$co{s}^{2}＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{4}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點評 考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量夾角的概念，已知三角函數(shù)求角的方法．