Question

20．在水域上建一個(gè)演藝廣場(chǎng)，演藝廣場(chǎng)由看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺(tái)BCDE四個(gè)部分構(gòu)成（如圖），看臺(tái)Ⅰ，看臺(tái)Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個(gè)半圓形區(qū)域，且看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，矩形表演臺(tái)BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面積為$400\sqrt{3}$平方米，設(shè)∠BAC=θ．
（1）求BC的長(zhǎng)（用含θ的式子表示）；
（2）若表演臺(tái)每平方米的造價(jià)為0.3萬(wàn)元，求表演臺(tái)的最低造價(jià)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)看臺(tái)的面積比得出AB，AC的關(guān)系，代入三角形的面積公式求出AB，AC，再利用余弦定理計(jì)算BC；
（2）根據(jù)（1）得出造價(jià)關(guān)于θ的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最小造價(jià)．

解答 解：（1）∵看臺(tái)Ⅰ的面積是看臺(tái)Ⅱ的面積的3倍，
∴$\frac{1}{2}π$（$\frac{AB}{2}$）²=3×$\frac{1}{2}π$（$\frac{AC}{2}$）²，∴AB=$\sqrt{3}$AC，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sinθ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC²sinθ=400$\sqrt{3}$，
∴AC²=$\frac{800}{sinθ}$，∴AB²=$\frac{2400}{sinθ}$，
在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosθ=$\frac{3200-1600\sqrt{3}cosθ}{sinθ}$，
∴BC=40$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}cosθ}{sinθ}}$．
（2）設(shè)表演臺(tái)的造價(jià)為y萬(wàn)元，則y=120$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}cosθ}{sinθ}}$，
設(shè)f（θ）=$\frac{2-\sqrt{3}cosθ}{sinθ}$（0＜θ＜π），則f′（θ）=$\frac{\sqrt{3}-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，
∴當(dāng)0$＜θ＜\frac{π}{6}$時(shí)，f′（θ）＜0，當(dāng)$\frac{π}{6}＜θ＜π$時(shí)，f′（θ）＞0，
∴f（θ）在（0，$\frac{π}{6}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{π}{6}$，π）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)θ=$\frac{π}{6}$時(shí)，f（θ）取得最小值f（$\frac{π}{6}$）=1，
∴y的最小值為120，即表演臺(tái)的最小造價(jià)為120萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形，函數(shù)最值計(jì)算，余弦定理，屬于中檔題．