【題目】如圖,已知矩形中,
,
,
為
的中點(diǎn),將
沿著
折起,使得
.
(1)求證:;
(2)若是
的中點(diǎn),求直線
與平面
的所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)根據(jù),
,
為
的中點(diǎn),在
中,由勾股定理可得
.由
,同理在
中,得到
.由線面垂直的判定定理證明
面
即可.
(2)結(jié)合(1)以為原點(diǎn),
為
軸,過(guò)
垂直于面
方向?yàn)?/span>
軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面
的一個(gè)法向量
和
的坐標(biāo),設(shè)直線
與平面
的所成角
,由
求解.
(1)因?yàn)?/span>,
,
為
的中點(diǎn),
所以在中,
,
所以.
又因?yàn)?/span>,
所以在中,因?yàn)?/span>
,
所以.
又,
所以面
,
又面
,
所以.
(2)以為原點(diǎn),
為
軸,過(guò)
垂直于面
方向?yàn)?/span>
軸,建立空間直角坐標(biāo)系:
則,
,
,
,
,
,
所以,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量
,
則,
即,
令,則
所以平面的一個(gè)法向量為
,
又,
設(shè)直線與平面
的所成角
,
所以與面
所成角的正弦值為:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是某地5月1日至15日日平均溫度變化的折線圖,日平均溫度高于20度低于27度時(shí)適宜戶外活動(dòng),某人隨機(jī)選擇5月1日至5月14日中的某一天到達(dá)該地停留兩天(包括到達(dá)當(dāng)日).
(1)求這15天日平均溫度的極差和均值;
(2)求此人停留期間只有一天的日平均溫度適宜戶外活動(dòng)的概率;
(3)由折線圖判斷從哪天開始連續(xù)三天日平均溫度的方差最大?(寫出結(jié)論,不要求證明)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓
上,且點(diǎn)
和
關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過(guò)右焦點(diǎn)的直線
與橢圓相交于
兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
且平行于
的直線與橢圓交于另一點(diǎn)
,問(wèn)是否存在直線
,使得四邊形
的對(duì)角線互相平分?若存在,求出
的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,
(1)若還同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè):①
,②
,③
,④
的面積
,請(qǐng)指出這三個(gè)條件,并說(shuō)明理由;
(2)若,求
周長(zhǎng)L的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)若,求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式
恒成立,求整數(shù)
的最小值;
(3)若,正實(shí)數(shù)
,
滿足
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上,某單位派出了由6名主力隊(duì)員和5名替補(bǔ)隊(duì)員組成的代表隊(duì)參加比賽.
(1)如果隨機(jī)抽派5名隊(duì)員上場(chǎng)比賽,將主力隊(duì)員參加比賽的人數(shù)記為,求隨機(jī)變量
的數(shù)學(xué)期望;
(2)若主力隊(duì)員中有2名隊(duì)員在練習(xí)比賽中受輕傷,不宜同時(shí)上場(chǎng);替補(bǔ)隊(duì)員中有2名隊(duì)員身材相對(duì)矮小,也不宜同時(shí)上場(chǎng),那么為了場(chǎng)上參加比賽的5名隊(duì)員中至少有3名主力隊(duì)員,教練員有多少種組隊(duì)方案?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為培養(yǎng)學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)文化的興趣,某校從理科甲班抽取60人,從文科乙班抽取50人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽.
(1)根據(jù)題目條件完成下邊列聯(lián)表,并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀與文理分科有關(guān).
優(yōu)秀人數(shù) | 非優(yōu)秀人數(shù) | 總計(jì) | |
甲班 | |||
乙班 | 20 | ||
總計(jì) | 60 |
(2)現(xiàn)已知,
,
三人獲得優(yōu)秀的概率分別為
,
,
,設(shè)隨機(jī)變量
表示
,
,
三人中獲得優(yōu)秀的人數(shù),求
的分布列及期望
.
附:,
.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,過(guò)曲線外的一點(diǎn)
(其中
,
為銳角)作平行于
的直線
與曲線分別交于
.
(Ⅰ) 寫出曲線和直線
的普通方程(以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為
軸的正半軸建系);
(Ⅱ)若成等比數(shù)列,求
的值.
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