Question

14．如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長是2，D是側棱CC₁的中點，直線AD與側BB₁C₁C所成的角為45°．
（1）求此正三棱柱的側棱長；
（2）求二面角A-BD-C的平面角的正切值；
（3）求點C到平面ABD的距離．

Answer 1

分析 （1）取BC中點E，連AE．推導出AE⊥BC．AE⊥側面BB₁C₁C．連ED，則直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為∠ADE=45°．由此能求出正三棱柱的側棱長．
（2）過E作EF⊥BD于F，連AF，則∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，由此能求出二面角A-BD-C的平面角的正切．
（3）由BD⊥平面AEF，知平面AEF⊥平面ABD，且交線為AF，過E作EG⊥AF于G，則EG⊥平面ABD，由此能求出點C到平面ABD的距離．

解答 解：（1）設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長為x．取BC中點E，連AE．
∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥側面BB₁C₁C，且交線為BC．
∴AE⊥側面BB₁C₁C．
連ED，則直線AD與側面BB₁C₁C所成的角為∠ADE=45°．
在Rt△AED中，tan45°=$\frac{AE}{ED}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+\frac{{x}^{2}}{4}}}$，解得x=2$\sqrt{2}$．
∴此正三棱柱的側棱長為2$\sqrt{2}$． …（4分）
（2）過E作EF⊥BD于F，連AF，
∵AE⊥側面BB₁C₁C，∴AF⊥BD．
∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，
又BE=1，sin$∠EBF=\frac{CD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又AE=$\sqrt{3}$，∴在Rt△AEF中，tan$∠AFE=\frac{AE}{EF}$=3．
故二面角A-BD-C的平面角的正切為3．   …（9分）
（3）由（2）知，BD⊥平面AEF，
∴平面AEF⊥平面ABD，且交線為AF，
∴過E作EG⊥AF于G，則EG⊥平面ABD．
在Rt△AEF中，EG=$\frac{AE×EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∵E為BC中點，∴點C到平面ABD的距離為2EG=$\frac{2\sqrt{30}}{10}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$．  …（14分）

點評 本題考查正三棱柱的側棱長、二面角的正切值、點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．