Question

已知銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，其對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，b=2

3

，且bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求角B的大��；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形

專(zhuān)題：綜合題,解三角形

分析：（I）由已知條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB，結(jié)合和角公式化簡(jiǎn)可求cosB，進(jìn)一步可求B，
（II）先確定A的范圍，利用差角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)可得sinA+sinC=sinA+sin（

2

3

π-A）=

3

sin（A+

π

6

），從而可求．

解答： 解：（1）由條件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB=2sinAcosB-sinCcosB．
則sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

．
（2）由A+B+C=π及B=

π

3

，得C=

2

3

π-A．
又△ABC為銳角三角形，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2

3

π-A）=

3

sin（A+

π

6

）．
又A+

π

6

∈（

π

3

，

2

3

π），
∴sin（A+

π

6

）∈（

3

2

，1]．
∴sinA+sinC∈（

3

2

，

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是由△ABC為銳角三角形，建立關(guān)于A的不等式，進(jìn)而求出A的范圍，而輔助角公式的應(yīng)用可以把不同名的三角函數(shù)化為一個(gè)角的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．