Question

8．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC⊥側(cè)面ABB₁A₁，底面△ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面ABB₁A₁為菱形且ABAA₁=60°，D為A₁B₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）記平面BCD∩平面A₁C₁CA=l，在圖中作出l，并說明畫法（不用說明理由）；
（Ⅱ）求直線l與平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：延長BD與A₁A交于F，連接CF交A₁C₁于點(diǎn)E，則直線CE（或CF）即為l．
法二：取A₁C₁中點(diǎn)E，連接ED，CE，則直線CE即為l．
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OA₁，OC所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線l與平面B₁C₁CB所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）方法一：延長BD與A₁A交于F，連接CF交A₁C₁于點(diǎn)E，
則直線CE（或CF）即為l．…（5分）
方法二：取A₁C₁中點(diǎn)E，連接ED，CE，
則直線CE即為l．…（5分）
（Ⅱ）取AB的中點(diǎn)O，因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，
則CO⊥AB，CO⊆平面ABC，底面ABC⊥側(cè)面ABB₁A₁且交線為AB，
所以CO⊥側(cè)面ABB₁A₁．…（6分）
又側(cè)面ABB₁A₁為菱形且$∠BA{A_1}={60^o}$，
所以△AA₁B為等邊三角形，所以A₁O⊥AB．
以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OA₁，OC所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（-1，0，0），$C（{0，0，\sqrt{3}}）$，
${A_1}（{0，\sqrt{3}，0}）$，${B_1}（{-2，\sqrt{3}，0}）$，$D（{-1，\sqrt{3}，0}）$，${C_1}（{-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$，
則A₁C₁中點(diǎn)$E（{-\frac{1}{2}，\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．…（8分）
設(shè)平面B₁C₁CB的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
$\overrightarrow{BC}=（{1，0，\sqrt{3}}），\overrightarrow{B{B_1}}=（{-1，\sqrt{3}，0}）$，$\overrightarrow{CE}=（{-\frac{1}{2}，\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$n=（{\sqrt{3}，1，-1}）$…（10分）
設(shè)直線l與平面B₁C₁CB所成角為α，
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{CE}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
即直線l與平面B₁C₁CB所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查滿足條件的直線的畫法，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．