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3.在平面直角坐標系xoy中,圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數),以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為$\sqrt{2}$ρsin(θ+$\frac{3π}{4}$)=7.
(1)求直線l的直角坐標方程;
(2)A,B分別是圓C和直線l上的動點,求|AB|的最小值.

分析 (1)利用和與差公式打開,根據ρcosθ=x,ρsinθ=y可得直線l的直角坐標方程;
(2)根據圓C的參數方程,求出圓心和半徑,|AB|的最小值為圓心到直線的距離d-r可得答案.

解答 解:(1)直線l的極坐標方程為$\sqrt{2}$ρsin(θ+$\frac{3π}{4}$)=7.
那么:$\sqrt{2}ρsinθcos\frac{3π}{4}+\sqrt{2}ρcosθsin\frac{3π}{4}=7$,
根據ρcosθ=x,ρsinθ=y可得:-y+x=7.
即直線l的直角坐標方程為x-y=7.
(2)圓C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+4cosθ}\\{y=2+4sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數),其圓心為(-1,2),半徑r=4.
那么:圓心到直線的距離d=$\frac{|-1+2-7|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$.
∴AB|的最小值為圓心到直線的距離d-r,即$|AB{|}_{min}=d-r=3\sqrt{2}-4$.

點評 本題考查參數方程、極坐標方程、普通方程的互化以及應用,考查了點到直線的距離公式,屬于基礎題.

練習冊系列答案
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