分析 (Ⅰ)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合輔助角公式,化簡函數(shù),利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(Ⅱ)由已知利用余弦定理可求cosC,由范圍C∈(0,π),可求C的值,由題意2sin(2A-$\frac{π}{6}$)>m恒成立,由A∈(0,$\frac{2π}{3}$),可求sin(2A-$\frac{π}{6}$)∈(-$\frac{1}{2}$,1],進而可得m的范圍.
解答 解:(Ⅰ)∵$\overrightarrow{a}$=(2$\sqrt{3}$sinx,sinx+cosx),$\overrightarrow$=(cosx,sinx-cosx),函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$.
∴f(x)=$\sqrt{3}$sin2x+sin2x-cos2x=2sin(2x-$\frac{π}{6}$),
∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,解得:kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:[kπ+$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{5π}{6}$],k∈Z.
(Ⅱ)∵b2+a2-c2=ab,
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$,由C∈(0,π),可得:C=$\frac{π}{3}$,
∵f(A)-m=2sin(2A-$\frac{π}{6}$)-m>0恒成立,即:2sin(2A-$\frac{π}{6}$)>m恒成立,
∵A∈(0,$\frac{2π}{3}$),2A-$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$),
∴sin(2A-$\frac{π}{6}$)∈(-$\frac{1}{2}$,1],可得:m≤-1.
點評 本題考查向量的數(shù)量積公式、輔助角公式,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),正確化簡函數(shù)是解題的關(guān)鍵,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.
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A. | $\frac{32}{3}$ | B. | $\frac{16}{3}$ | C. | $\frac{8}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |
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A. | c>b>a | B. | b>c>a | C. | c>a>b | D. | a>c>b |
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A. | y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x | B. | y=±$\sqrt{3}$x | C. | y=±$\frac{\sqrt{21}}{7}$x | D. | y=±$\frac{\sqrt{21}}{3}$x |
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