13.已知$\overrightarrow{a}$=(2$\sqrt{3}$sinx,sinx+cosx),$\overrightarrow$=(cosx,sinx-cosx),函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2+a2-c2=ab,若f(A)-m>0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (Ⅰ)利用向量的數(shù)量積公式,結(jié)合輔助角公式,化簡函數(shù),利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(Ⅱ)由已知利用余弦定理可求cosC,由范圍C∈(0,π),可求C的值,由題意2sin(2A-$\frac{π}{6}$)>m恒成立,由A∈(0,$\frac{2π}{3}$),可求sin(2A-$\frac{π}{6}$)∈(-$\frac{1}{2}$,1],進而可得m的范圍.

解答 解:(Ⅰ)∵$\overrightarrow{a}$=(2$\sqrt{3}$sinx,sinx+cosx),$\overrightarrow$=(cosx,sinx-cosx),函數(shù)f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$.
∴f(x)=$\sqrt{3}$sin2x+sin2x-cos2x=2sin(2x-$\frac{π}{6}$),
∵令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$,k∈Z,解得:kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$,k∈Z,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為:[kπ+$\frac{π}{3}$,kπ+$\frac{5π}{6}$],k∈Z.
(Ⅱ)∵b2+a2-c2=ab,
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$,由C∈(0,π),可得:C=$\frac{π}{3}$,
∵f(A)-m=2sin(2A-$\frac{π}{6}$)-m>0恒成立,即:2sin(2A-$\frac{π}{6}$)>m恒成立,
∵A∈(0,$\frac{2π}{3}$),2A-$\frac{π}{6}$∈(-$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$),
∴sin(2A-$\frac{π}{6}$)∈(-$\frac{1}{2}$,1],可得:m≤-1.

點評 本題考查向量的數(shù)量積公式、輔助角公式,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),正確化簡函數(shù)是解題的關(guān)鍵,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,cosA=$\frac{2b-a}{2c}$,若f(A)-m>0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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