Question

2．已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，A、B、M在準(zhǔn)線上的射影依次為C、D、N．
（1）求直線FN與直線AB的夾角θ的大�。�
（2）求證：點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）先設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中點(diǎn)M（x₀，y₀），利用斜率公式得出k_FN=-$\frac{1}{2}$y₀，再分類討論：當(dāng)x₁=x₂時(shí)，顯然FN⊥AB；當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，證出k_FN•k_AB=-1．從而知FN⊥AB成立，即可得出結(jié)論．
（2）將焦點(diǎn)弦AB的直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線斜率的關(guān)系即可證得B、O、C三點(diǎn)共線，從而解決問題．

解答 （1）解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、中點(diǎn)M（x₀，y₀），焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0）．
k_FN=-$\frac{1}{2}$y₀，當(dāng)x₁=x₂時(shí)，顯然FN⊥AB；
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∴k_FN•k_AB=-1．
∴FN⊥AB．綜上所述知FN⊥AB成立，
即直線FN與直線AB的夾角θ的大小為90°；
（2）證明：由y=k（x-1）與拋物線方程聯(lián)立，可得ky²-4y-4k=0，∴y₁y₂=-4，
∴A在準(zhǔn)線上的射影為C，
∴C（-1，y₁），∴k_OC=-y₁，
∵k_OB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{2}}$，y₁y₂=-4，
∴k_OB=k_OC，∴點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線過焦點(diǎn)的弦在準(zhǔn)線上的射影，求證三點(diǎn)共線及線線角，著重考查了用解析幾何理解拋物線的定義的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．