Question

17．對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)x_n是關(guān)于x的方程nx³+2x-n=0的實(shí)數(shù)根，記a_n=[（n+1）x_n]（n≥2），其中[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則$\frac{1}{1007}$（a₂+a₃+…+a₂₀₁₅）=2017．

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造f（x）=nx³+2x-n，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出方程根的取值范圍進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)f（x）=nx³+2x-n，則f′（x）=3nx²+2，
當(dāng)n是正整數(shù)時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）為增函數(shù)，
∵當(dāng)n≥2時(shí)，f（$\frac{n}{n+1}$）=n×（$\frac{n}{n+1}$）³+2×（$\frac{n}{n+1}$）-n=$\frac{n}{（n+1）^{3}}$•（-n²+n+1）＜0，
且f（1）=2＞0，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，方程nx³+2x-n=0有唯一的實(shí)數(shù)根x_n且x_n∈（$\frac{n}{n+1}$，1），
∴n＜（n+1）x_n＜n+1，a_n=[（n+1）x_n]=n，
因此$\frac{1}{1007}$（a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₅）=$\frac{1}{1007}$（2+3+4+…+2015）=$\frac{（2+2015）×2014}{2×1007}$=2017，
故答案為：2017．

點(diǎn)評(píng) 本題考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)的零點(diǎn)，數(shù)列求和的基本方法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題以及計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．