【題目】已知O為坐標(biāo)原點，，，直線AG，BG相交于點G，且它們的斜率之積為.記點G的軌跡為曲線C.

（1）若射線與曲線C交于點D，且E為曲線C的最高點，證明：.

（2）直線與曲線C交于M，N兩點，直線AM，AN與y軸分別交于P，Q兩點.試問在x軸上是否存在定點T，使得以PQ為直徑的圓恒過點T？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析； （2）存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點T.

【解析】

（1）設(shè)點，根據(jù)，求得點的軌跡方程為，聯(lián)立方程組，解答坐標(biāo)，結(jié)合斜率公式，即可求解.

（2）設(shè)，則，解得,，假設(shè)頂點T，使得PQ為直徑的圓恒過點T，則，求得，即可得到結(jié)論.

（1）設(shè)點，因為，即，

整理得點的軌跡方程為，

聯(lián)立方程組，解得且，

所以，所以.

（2）設(shè)，則，

所以直線AM的方程為，令，解得,

同理可得,

假設(shè)定點T，使得PQ為直徑的圓恒過點T，則,即，

又由，可得，所以，

即在x軸上存在定點，使得以PQ為直徑的圓恒過點T.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動點.

（I）求動點對應(yīng)的參數(shù)從變動到時，線段所掃過的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個交點為，是否存在點，使得為線段的中點？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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【題目】函數(shù)是上的偶函數(shù)，且，若在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在上是（ ）

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（Ⅰ）若，求的單調(diào)性和極值；

（Ⅱ）若函數(shù)至少有1個零點，求的取值范圍．

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【題目】過點的動直線l與y軸交于點，過點T且垂直于l的直線與直線相交于點M.

（1）求M的軌跡方程；

（2）設(shè)M位于第一象限，以AM為直徑的圓與y軸相交于點N，且，求的值.

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【題目】已知拋物線，過拋物線焦點的直線分別交拋物線和圓于點(自上而下)．

（1）求證：為定值；

（2）若、、成等差數(shù)列，求直線的方程．

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【題目】某校高一班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖．

1求分?jǐn)?shù)在的頻數(shù)及全班人數(shù)；

2求分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)，并計算頻率分布直方圖中間矩形的高；

3若要從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率．

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【題目】已知正四棱錐的底面邊長和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個頂點中隨機選取3個點構(gòu)成三角形，設(shè)隨機變量表示所得三角形的面積.

（1）求概率的值；

（2）求隨機變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.

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【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴(yán)重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀發(fā)熱咳嗽氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎嚴(yán)重急性呼吸綜合征腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.

方式二：混合檢驗，將其中且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為k+1.

假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p(0<p<1).現(xiàn)取其中且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗，方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式p=f(k).

（2）若p與干擾素計量相關(guān)，其中2)是不同的正實數(shù)，滿足x1=1且.

(i)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(ii)當(dāng)時采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值.

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