Question

給出下面的數(shù)表序列：

其中表n（n=1，2，3…）有n行，第1行的n個數(shù)是1，3，5，…2n-1，從第2行起，每行中的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
（Ⅰ）寫出表4，驗證表4各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將此結(jié)論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；
（Ⅱ）每個數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1，4，12，…，記此數(shù)列為{b_n}，求和：

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…+

bn+2

b nbn+1

   （n∈N^*）；
（Ⅲ）已知當(dāng)n∈N^*，?n≥6，不等式（1-

m

n+3

）＜（

1

2

）^m（其中m=1，2，3，…，n）成立，求出滿足等式3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整數(shù)n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,進(jìn)行簡單的合情推理

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)表1，表2，表3的規(guī)律可寫出表4，然后求出各行的平均數(shù)，可確定等比數(shù)列的首項和公比，進(jìn)而推廣到n．
（Ⅱ）先求出表n的首項的平均數(shù)，進(jìn)而可確定它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而得到表中最后一行的數(shù)b_n=n•2^n-1，再化簡通項

bk+2

bkbk+1

，最后根據(jù)裂項法求和．
（Ⅲ）由題意驗證n=1，2，3，4，5時等式是否成立，即可求出滿足等式3ⁿ+4^m+…+（n+2）^m=（n+3）ⁿ的所有正整數(shù)n．

解答： 解 （ I）由題意可得

它的第1，2，3，4行中的數(shù)的平均數(shù)分別是4，8，16，32，它們構(gòu)成首項為4，公比為2的等比數(shù)列．
將這一結(jié)論推廣到表n（n≥3），即
表n（n≥3）各行的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列．
（ II）表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均數(shù)是

1+3+…(2n-1)

n

=n，
由（ I）可知，它的各行中的數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成首項為n，公比為2的等比數(shù)列，于是表n中最后一行的唯一一個數(shù)為bn=n•2n-1．
因此

bk+2

bkbk+1

=

(k+2)2k+1

k2k-1•(k+1)2k

=

k+2

k(k+1)2k-2

=

2(k+1)-k

k(k+1)2k-2

=

1

k2k-3

-

1

(k+1)2k-2

，（k=1，2，3，…，n）
故

b3

b1b2

+

b4

b2b3

+…+

bn+2

b nbn+1

=（

1

1×2-2

-

1

2×2-1

）+（

1

2×2-1

-

1

3×20

）+…+（

1

n×2n-3

-

1

(n+1)×2n-2

）
=

1

1×2-2

-

1

(n+1)×2n-2

=4-

1

(n+1)×2n-2

…（9分）
（ III） 當(dāng)n≥6時，
(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，
(1-

2

n+3

)n＜(

1

2

)2，
…
(1-

n

n+3

)n＜(

1

2

)n，
∴(1-

1

n+3

)n+(1-

2

n+3

)n+…+(1-

n

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-

1

2n

＜1，
所以3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ，
所以當(dāng)n≥6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n．故只需要討論n=1，2，3，4，5的情形：
當(dāng)n=1時，3≠4，等式不成立；
當(dāng)n=2時，3²+4²=5²，等式成立；
當(dāng)n=3時，3³+4³+5³=6³，等式成立；
當(dāng)n=4時，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴是偶數(shù)，但7⁴是奇數(shù)，所以等式不成立；
當(dāng)n=5時，3⁵+4⁵+5⁵+6⁵+7⁵是奇數(shù)，但8⁵是偶數(shù)，所以等式不成立；
綜上，滿足條件的所有正整數(shù)為2，3．

點評：本題主要考查數(shù)列求和和等比數(shù)列的性質(zhì)．?dāng)?shù)列求和是高考的必考點，一般有公式法、裂項法、錯位相減法等，都要熟練掌握．