已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1．
（Ⅰ）求{an}的通項公式；
（Ⅱ）證明：
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．
考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（Ⅰ）由已知得
an+1+
1
2
an+
1
2
=
3an+1+
1
2
an+
1
2
=
3(an+
1
2
)
an+
1
2
=3，從而{an+
1
2
}是首項為
3
2
，公比為3的等比數(shù)列，由此能求出an=
3n-1
2
．
（Ⅱ）由
1
an
=
2
3n-1
＜
2
3n-3n-1
=
1
3n-1
，利用放縮法能證明
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．
解答： （Ⅰ）解：∵數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，
∴
an+1+
1
2
an+
1
2
=
3an+1+
1
2
an+
1
2
=
3(an+
1
2
)
an+
1
2
=3，
∵a1+
1
2
=
3
2
，
∴{an+
1
2
}是首項為
3
2
，公比為3的等比數(shù)列，
∴an+
1
2
=
3
2
×3n-1=
3n
2
，
∴an=
3n-1
2
．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知
1
an
=
2
3n-1
，
當n≥2時，
1
an
=
2
3n-1
＜
2
3n-3n-1
=
1
3n-1
，
∴當n=1時，
1
a1
=1＜
3
2
，成立；
當n≥2時，
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an

＜1+
1
3
+
1
32
+…+
1
3n-1

=
1-(
1
3
)n
1-
1
3

=
3
2
(1-
1
3n
)＜
3
2
．
∴
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
＜
3
2
．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意放縮法的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知|z|=1，且復數(shù)u=z-1，求|u|的最大值和最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=2
5
cos（ωx+φ）對任意x都有f（
π
3
-x）=f（
π
3
+x），則f（
π
3
）的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=
cosx
1-sinx
單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax2，
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）已知存在正數(shù)α、β滿足α≠β，f（α）=f（β）．
①若α、β都屬于區(qū)間[1，3]，且β-α=1，求實數(shù)a的取值范圍．
②求證：α+β＞
2
a
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中，點A（0，3），點B的縱坐標為2，點C的縱坐標為0，當A、B、C三點圍成等腰直角三角形時，求點B、C的坐標．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的圖象與y軸交于點（0，
3
），在y軸右邊到y(tǒng)軸最近的最高點坐標為（
π
12
，2），則不等式f（x）＞1的解集是（　�。�
A、（kπ-
π
6
，kπ+
5
6
π），k∈Z
B、（kπ-
π
12
，kπ+
5
6
π），k∈Z
C、（kπ-
π
16
，kπ+
π
4
），k∈Z
D、（kπ-
π
12
，kπ+
π
4
），k∈Z

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

判斷下列方程是否表示橢圓，若是，求出a，b的值
①
x2
2
+
y2
2
=1②
x2
4
+
y2
2
=1③
x2
4
-
y2
2
=1④4y2+9x2=36．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案