Question

【題目】已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2﹣2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象，并指出其單調(diào)區(qū)間．（不需要嚴格證明）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2﹣2x，

當(dāng)x＜0時，﹣x＞0，

f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x，

∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x，

∴f（x）=

（2）解：∵f（x）= ，

∴當(dāng)x≥0時，y=x2﹣2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=1，頂點坐標（1，﹣1），

當(dāng)y=0時，x1=0，x2=2；當(dāng)x=0時，y=0．

當(dāng)x＜0時，y=x2+2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=﹣1，頂點坐標（﹣1，﹣1），

當(dāng)y=0時，x=﹣2．

由此能作出函數(shù)f（x）的圖象如下：

結(jié)合圖象，知f（x）的增區(qū)間是（﹣1，0），（1，+∞）；減區(qū)間是（﹣∞，﹣1），（0，1）

【解析】（1）由y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x2﹣2x，知當(dāng)x＜0時，f（x）=f（﹣x）=x2+2x，由此能求出f（x）的解析式．（2）當(dāng)x≥0時，y=x2﹣2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=1，頂點坐標（1，﹣1），當(dāng)y=0時，x1=0，x2=2；當(dāng)x=0時，y=0；當(dāng)x＜0時，y=x2+2x，拋物線開口向上，對稱軸方程為x=﹣1，頂點坐標（﹣1，﹣1），當(dāng)y=0時，x=﹣2．由此能作出函數(shù)f（x）的圖象．結(jié)合圖象，能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】利用奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．