已知函數(shù)f(x)=xlnx-x2.

(1)當a=1時,函數(shù)y=f(x)有幾個極值點?

(2)是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)=xlnx-x2有兩個極值?若存在,求實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

 

(1)0個極值點 (2)(0,1)

【解析】【解析】
(1)當a=1時,f(x)=xlnx-x2,f′(x)=lnx+1-x.

由于極值點的導數(shù)值等于0,故要研究函數(shù)g(x)=f′(x)=lnx+1-x的零點的情況.

g′(x)=-1,

當x∈(0,1)時,g′(x)=-1>0;

當x∈(1,+∞)時,g′(x)=-1<0.

∴g(x)=lnx+1-x在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

∴g(x)max=g(1)=ln1+1-1=0,即f′(x)≤0.

故f′(x)=lnx+1-x只有一個零點x=1,且在x=1兩側(cè)都有f′(x)<0,故x=1不是極值點.

∴函數(shù)y=f(x)有0個極值點.

(2)f′(x)=lnx+1-ax,

函數(shù)f(x)=xlnx-x2有兩個極值?方程f′(x)=lnx+1-ax=0在(0,+∞)上有兩個不等實根,且每一根兩側(cè)的導數(shù)f′(x)值異號?直線y=a與曲線h(x)=有兩個交點.

h′(x)=,當x∈(0,1)時,h′(x)>0;

當x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,

∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

當x∈(1,+∞)時,h(x)>0,且當x→+∞時,h(x)→0.

∴當x=1時,h(x)max=1,其圖象大致是:

由圖可知a的取值范圍是(0,1).

 

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①函數(shù)f(x)的最小值是-1;

②函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);

③若f(x)>0在[,+∞)上恒成立,則a的取值范圍是a>1;

④對任意x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f()<.

其中正確命題的所有序號是________.

 

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(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)當a>0時,若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2,求a的取值范圍.

 

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設f′(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中,不可能正確的是(  )

 

 

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A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)

B.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)

C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)

D.函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)

 

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