Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，點D、E、F分別為AC、AB、BC的中點．
（I）求證：EF⊥PD；
（Ⅱ）求三棱錐D-PEF的體積；
（Ⅲ）求二面角E-PF-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接BD，證明PB⊥平面ABC，從而PD⊥AC，根據(jù)E、F分別為AB、BC的中點，可得EF∥AC，從而可得EF⊥PD；
（Ⅱ）利用等體積轉(zhuǎn)化V_D-PEF=V_P-DEF，即可求得三棱錐D-PEF的體積；
（Ⅲ）過B作BM⊥PF于點M，連接EM，證明∠EMB為二面角E-PF-B的平面角，再在直角△PBF中，可求二面角E-PF-B的正切值．
解答：解：（I）證明：連接BD，在△ABC中，∠ABC=90°
∵AB=BC，點D為AC的中點．
∴BD⊥AC
∵PB⊥平面ABC
即BD為PD在平面ABC內(nèi)的射影
∴PD⊥AC
∵E、F分別為AB、BC的中點．
∴EF∥AC
∴EF⊥PD；
（Ⅱ）由題有，PB⊥面DEF，∵∠PAB=45°，∴PB=2
∵V_D-PEF=V_P-DEF
∴=
∴三棱錐D-PEF的體積為；
（Ⅲ）過B作BM⊥PF于點M，連接EM
∵AB⊥PB，AB⊥BC，PB∩BC=B
∴AB⊥平面PBC，即BM為EM在平面PBC內(nèi)的射影
∴EM⊥PF，
∴∠EMB為二面角E-PF-B的平面角
∵直角△PBF中，BM=
∴tan=
即二面角E-PF-B的正切值為
點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查三棱錐的體積，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運用線面垂直的判斷，正確作出面面角．