Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,數(shù)列的前n項(xiàng)和為,點(diǎn)()在二次函數(shù)的圖象上.

(1)求數(shù)列的表達(dá)式;

(2)設(shè)(),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項(xiàng),,,,…,…(),這些項(xiàng)能夠依次構(gòu)成以為首項(xiàng),q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫(xiě)出關(guān)于k的表達(dá)式;若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) () (2)見(jiàn)解析 (3) 存在,,().

【解析】

(1)先求出,通過(guò)討論n的范圍,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)通過(guò)討論n的奇偶性,從而求出的表達(dá)式,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使(n為正偶數(shù))恒成立即可;

(3)通過(guò)討論公比的奇偶性,從而得到答案.

(1)由題意得,

∴(),

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),適合上式,

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是:();

(2)∵,(),

∴

,

由(1)得:數(shù)列是以1為首項(xiàng),公差為的等差數(shù)列,

①當(dāng),時(shí),

,

,

②當(dāng),時(shí),

,

∴,要使對(duì)恒成立,

只要使(n為正偶數(shù))恒成立,

即使對(duì)n為正偶數(shù)恒成立.

∴;

(3)由知,數(shù)列中每一項(xiàng)都不可能是偶數(shù),

①如存在以為首項(xiàng),公比q為2或4的數(shù)列,,此時(shí)中每一項(xiàng)除第一項(xiàng)外都是偶數(shù),

故不存在以為首項(xiàng),公比為偶數(shù)的數(shù)列;

②時(shí),顯然不存在這樣的數(shù)列,

時(shí),若存在以為首項(xiàng),公比為3的數(shù)列,,則,

,,,

∴存在滿足條件的數(shù)列,且,().