分析 ( I)P(cosα,sinα)求出向量,利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.
(Ⅱ)法一:設(shè)M(m,0),通過|→AP|=12|→AP|,推出{1+m2=01−m24=0,即可求解M點的橫坐標.
法二:設(shè)M(m,0),通過|→AP|=12|→AP|,推出(m+2)[(m-2)-2cosα]=0,利用恒成立求解即可.
解答 解:( I)P(cosα,sinα).…(2分)
→AP=(cosα+12,sinα),→BP=(cosα−32,sinα),
→AP•→BP=(cosα+12)(cosα−32)+sin2α=cos2α-cosα−34+sin2α=14-cosα,
因為→AP•→BP=−14,所以14−cosα=−14,即cosα=12,
因為α為銳角,所以α=π3.…(7分)
(Ⅱ)法一:
設(shè)M(m,0),
則|→AP|2=(cosα+12)2+sin2α=1+cosα+14=cosα+54,
|→MP|2=(cosα−m)2+sin2α=1−2mcosα+m2,
因為|→AP|=12|→AP|,所以cosα+54=14(1−2mcosα+m2),…(12分)
所以(1+m2)cosα+(1−m24)=0對任意α∈(0,π2)成立,
所以{1+m2=01−m24=0,所以m=-2.M點的橫坐標為-2.…(16分)
法二:設(shè)M(m,0),
則|→AP|2=(cosα+12)2+sin2α=1+cosα+14=cosα+54,|→MP|2=(cosα−m)2+sin2α=1−2mcosα+m2,
因為|→AP|=12|→AP|,
所以cosα+54=14(1−2mcosα+m2),即m2-2mcosα-4cosα-4=0,(m+2)[(m-2)-2cosα]=0,
因為α可以為任意的銳角,(m-2)-2cosα=0不能總成立,
所以m+2=0,即m=-2,M點的橫坐標為-2.…(16分)
點評 本題考查向量的數(shù)量積的應用,向量在幾何中的應用,三角函數(shù)的最值,恒成立問題的轉(zhuǎn)化,考查計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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A. | f(x)=-sin 2x | B. | f(x)的圖象關(guān)于x=-π3對稱 | ||
C. | f(7π3)=12 | D. | f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱 |
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A. | (-∞,-1]∪[3,+∞) | B. | (-∞,-1]∪[2,+∞) | C. | (-∞,-3]∪[1,+∞) | D. | (-∞,-2]∪[1,+∞) |
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A. | 43 cm3 | B. | 83 cm3 | C. | 2cm3 | D. | 4cm3 |
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A. | →a與-λ→a的方向相反 | B. | |-λ→a|≥|→a| | ||
C. | |-λ→a|=|λ|•→a | D. | →a與λ2→a的方向相同 |
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