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19.如圖,在平面直角坐標系中,點A120,B320,銳角α的終邊與單位圓O交于點P.
(Ⅰ)當APBP=14時,求α的值;
(Ⅱ)在軸上是否存在定點M,使得|AP|=12|MP|恒成立?若存在,求出點M的橫坐標;若不存在,說明理由.

分析 ( I)P(cosα,sinα)求出向量,利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解即可.
(Ⅱ)法一:設(shè)M(m,0),通過|AP|=12|AP|,推出{1+m2=01m24=0,即可求解M點的橫坐標.
法二:設(shè)M(m,0),通過|AP|=12|AP|,推出(m+2)[(m-2)-2cosα]=0,利用恒成立求解即可.

解答 解:( I)P(cosα,sinα).…(2分)
AP=cosα+12sinαBP=cosα32sinα,
APBP=cosα+12cosα32+sin2α=cos2α-cosα34+sin2α=14-cosα,
因為APBP=14,所以14cosα=14,即cosα=12,
因為α為銳角,所以α=π3.…(7分)
(Ⅱ)法一:
設(shè)M(m,0),
|AP|2=cosα+122+sin2α=1+cosα+14=cosα+54
|MP|2=cosαm2+sin2α=12mcosα+m2,
因為|AP|=12|AP|,所以cosα+54=1412mcosα+m2,…(12分)
所以1+m2cosα+1m24=0對任意α0π2成立,
所以{1+m2=01m24=0,所以m=-2.M點的橫坐標為-2.…(16分)
法二:設(shè)M(m,0),
|AP|2=cosα+122+sin2α=1+cosα+14=cosα+54,|MP|2=cosαm2+sin2α=12mcosα+m2
因為|AP|=12|AP|,
所以cosα+54=1412mcosα+m2,即m2-2mcosα-4cosα-4=0,(m+2)[(m-2)-2cosα]=0,
因為α可以為任意的銳角,(m-2)-2cosα=0不能總成立,
所以m+2=0,即m=-2,M點的橫坐標為-2.…(16分)

點評 本題考查向量的數(shù)量積的應用,向量在幾何中的應用,三角函數(shù)的最值,恒成立問題的轉(zhuǎn)化,考查計算能力.

練習冊系列答案
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