Question

14．如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，AA₁=BB₁=CC₁=x（0＜x＜1），△A₁B₁C₁的面積為y．
（1）試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角形面積公式得y=${S}_{△ABC}-3{S}_{△{A}_{1}B{B}_{1}}$，由此能求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）推導(dǎo)出y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{16}$，當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y取最小值y_min=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

解答 解：（1）∵在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，
AA₁=BB₁=CC₁=x（0＜x＜1），△A₁B₁C₁的面積為y．
∴y=${S}_{△ABC}-3{S}_{△{A}_{1}B{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$-3×$\frac{1}{2}×x×（1-x）×sin60°$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x（1-x）=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，（0＜x＜1）．
（2）∵y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{x}^{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}x$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（3x²-3x+1）
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{16}$．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，y取最小值y_min=$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等式、三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．