Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|，x∈R
（ I）求證：當a=-$\frac{1}{2}$時，不等式lnf（x）＞1成立；
（II）已知關(guān)于x的不等式f（x）≤a在R上有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）求出：當a=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)的分段函數(shù)形式，求出函數(shù)的最小值，然后證明不等式lnf（x）＞1成立；
（II）利用絕對值的幾何意義求出函數(shù)的最小值，列出不等式求解即可．

解答 解：（I）證明：由$f（x）\;=|{x-\frac{5}{2}}|+|{x+\frac{1}{2}}|=\left\{\begin{array}{l}-2x+2x＜-\frac{1}{2}\\ 3-\frac{1}{2}≤x≤\frac{5}{2}\\ 2x-2\;\;x＞\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
得函數(shù)f（x）的最小值為3，從而f（x）≥3＞e，所以lnf（x）＞1成立．
（ II）由絕對值的性質(zhì)得$f（x）=|{x-\frac{5}{2}}|+|{x-a}|≥|{（x-\frac{5}{2}）-（x-a）}|=|{a-\frac{5}{2}}|$，
所以f（x）最小值為$|{\frac{5}{2}-a}|$，從而$|{\frac{5}{2}-a}|≤a$，
解得$a≥\frac{5}{4}$，
因此a的取值范圍為$[\frac{5}{4}，+∞）$．

點評 本題考查絕對值的幾何意義，不等式的證明，函數(shù)的最值的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．