Question

15．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，P是平面AB₁D₁內(nèi)一點，滿足A₁P=$\sqrt{5}$，Q是平面BC₁D內(nèi)異于B的一點，則直線A₁P與直線BQ所成角的余弦值的取值范圍為[0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$]．

Answer 1

分析 可得點P的軌跡是：在面AB₁D₁內(nèi)以O(shè)為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓．
由BQ∥面AB₁D₁內(nèi)，得直線A₁P與直線BQ所成角就是A₁P與面AB₁D₁內(nèi)直線所成角．
所成角的最小值為斜線A₁P與面AB₁D₁所成角，根據(jù)異面直線所成角定義，直線A₁P與直線BQ所成角的最大值為$\frac{π}{2}$．即可求解

解答 解：如圖，連接A₁C交面AB₁D₁內(nèi)一點O，易得A₁O⊥平面AB₁D₁，${A}_{1}O=\frac{1}{3}{A}_{1}C=\sqrt{3}$
∵P是平面AB₁D₁內(nèi)一點，滿足A₁P=$\sqrt{5}$，∴點P的軌跡是：在面AB₁D₁內(nèi)以O(shè)為圓心，半徑為$\sqrt{2}$的圓．
∵BQ∥面AB₁D₁內(nèi)，∴直線A₁P與直線BQ所成角就是A₁P與面AB₁D₁內(nèi)直線所成角．
所成角的最小值為斜線A₁P與面AB₁D₁所成角，∠A₁PO，cos$∠{A}_{1}PO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$
根據(jù)異面直線所成角定義，直線A₁P與直線BQ所成角的最大值為$\frac{π}{2}$．
直線A₁P與直線BQ所成角的余弦值的取值范圍為[0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$]，
故答案為：[0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$]．

點評 本題考查了空間線面位置關(guān)系，異面直線夾角的求解，考查了空間想象能力，屬于中檔題