Question

10．已知m∈R，要使函數(shù)f（x）=|x²-4x+9-2m|+2m在區(qū)間[0，4]上的最大值是9，則m的取值范圍是（-∞，$\frac{7}{2}$]．

Answer 1

分析 將f（x）配方，求得對(duì)稱軸，求得f（2），f（0）=f（4），由二次函數(shù)的最值取得，可能在頂點(diǎn)處或兩端點(diǎn)處，分別計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x²-4x+9-2m|+2m
=|（x-2）²+5-2m|+2m，
對(duì)稱軸為x=2，可得
f（0）=f（4）=|9-2m|+2m，
f（2）=|5-2m|+2m，
由f（x）在區(qū)間[0，4]上的最大值是9，
①當(dāng)f（2）=9，即|5-2m|+2m=9，
解得m=$\frac{7}{2}$，
即f（x）═|（x-2）²-2|+7，
此時(shí)f（0）=f（4）=9成立；
②當(dāng)f（0）=f（4）=|9-2m|+2m=9，
可得9-2m≥0，即m≤$\frac{9}{2}$，
f（2）=|5-2m|+2m≤9，
解得m≤$\frac{7}{2}$，
綜上可得m的取值范圍是（-∞，$\frac{7}{2}$]．
故答案為：（-∞，$\frac{7}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想方法，以及二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．