Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}-2}$．
（1）證明：a_n＜a_n+1；
（2）證明：a_na_n+1≥2n+1；
（3）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，證明：2＜b_n＜$\sqrt{5}$（n≥2）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n＞0，a_n²=a_na_n+1-2，求出a_n+1，由不等式的性質(zhì)即可得證；
（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論和不等式的性質(zhì)，推理n=1，n≥2時，由累加法，即可得證；
（3）運(yùn)用分析法證明，結(jié)合a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$，兩邊平方可得，由a₂=3，有a_n+1²-a_n²∈（4，$\frac{40}{9}$），累加即可得證．

解答 證明：（1）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n+1}-2}$．
可得a_n＞0，a_n²=a_na_n+1-2，
可得a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$＞a_n，
即a_n＜a_n+1；
（2）由（1）可得a_na_n-1＜a_n²=a_na_n+1-2，
可得a_na_n+1-a_na_n-1＞2，
n=1時，a_na_n+1=a₁²+2=3，
2n+1=3，則原不等式成立；
n≥2時，a_na_n+1＞3+2（n-1）=2n+1，
綜上可得，a_na_n+1≥2n+1；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，要證2＜b_n＜$\sqrt{5}$（n≥2），
即證2$\sqrt{n}$＜a_n＜$\sqrt{5n}$，
只要證4n＜a_n²＜5n，
由a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$，可得a_n+1²=a_n²+4+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$，
且a₂=3，
a_n+1²-a_n²=4+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＞4，
且4+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＜4+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$=4+$\frac{4}{9}$=$\frac{40}{9}$，
即有a_n+1²-a_n²∈（4，$\frac{40}{9}$），
由n=2，3，…，累加可得
a_n²-a₂²∈（4（n-2），$\frac{40（n-2）}{9}$），
即有a_n²∈（4n+1，$\frac{40n+1}{9}$）⊆（4n，5n），
故2＜b_n＜$\sqrt{5}$（n≥2）．

點評 本題考查數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)和分析法和累加法，考查推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題．