已知函數(shù)f(x)=asinxcosx+
3
acos2x-
3
2
a+1(a>0)的定義域為R,當-
12
≤x≤-
π
12
時,f(x)的最大值為2
(1)求a的值
(2)用五點法作出該函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖象
(3)寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱中心的坐標.
分析:(1)先利用二倍角公式和輔助角公式把函數(shù)f(x)化為y=Asin(ωx+φ)+h的形式,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值,又因為已知函數(shù)的最大值為2,就可求出參數(shù)a的值.
(2)利用“五點法”作圖,令2x+
π
3
分別取0,
π
2
,π,
2
,2π,求出對應(yīng)的x與y的值,就可得到函數(shù)在一個周期內(nèi)的五個關(guān)鍵點的坐標,畫出見圖.
(3)令2x+
π
3
屬于正弦函數(shù)的增區(qū)間,解出x的范圍即為函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
2x+
π
3
=kπ,k∈Z,解得x的值為函數(shù)對稱中心的橫坐標,因為函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1
的圖象是函數(shù)y=2sin(2x+
π
3
)
的圖象向上平移一個單位長度得到的,所以函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1
的對稱中心的縱坐標為1.就可得到函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1
的對稱中心.
解答:解:(1)f(x)=asinxcosx+
3
acos2x-
3
2
a+1
=
asin2x
2
+
3
a(cos2x+1)
2
-
3
a
2
+1
=
asin2x
2
+
3
acos2x
2
+1

=a(sin2xcos
π
3
+cos2xsin
π
3
)+1
=asin(2x+
π
3
)+1
-
12
≤x≤-
π
12
,則-
6
≤2x+
π
3
π
6

∴當2x+
π
3
=
π
6
,f(x)有最大值為
a
2
+1
,
又∵f(x)的最大值為2,∴
a
2
+1
=2,
解得:a=2.
(2)由(1)知f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1

2x+
π
3
分別取0,
π
2
,π,
2
,2π,則對應(yīng)的x與y的值如下表
 x -
π
6
 
π
12
 
π
3
 
12
 
6
 2x+
π
3
 0  
π
2
 π  
2
 2π
 y  1  3 -1  1  3
畫出函數(shù)在區(qū)間[-
π
6
6
]的圖象如下圖

(2)f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1

-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
π
2
+2kπ
,k∈Z
解得,-
5
12
π+kπ≤x≤
π
12
+kπ,k∈z

∴函數(shù)的增區(qū)間為[-
5
12
π+kπ,
π
12
+kπ],k∈z

2x+
π
3
=kπ,k∈
Z,解得x=
2
-
π
6
,k∈Z,
∴函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1
的對稱中心的橫坐標為
2
-
π
6
,k∈Z,
又∵函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1
的圖象是函數(shù)y=2sin(2x+
π
3
)
的圖象向上平移一個單位長度得到的,
∴函數(shù)f(x)=2sin(2x+
π
3
)+1
的對稱中心的縱坐標為1.
∴對稱中心坐標為(
2
-
π
6
,1)k∈Z
點評:本題主要考查應(yīng)用三角函數(shù)的公式把三角函數(shù)化簡為y=Asin(ωx+φ)+h的形式,再求圖象與性質(zhì),屬于三角函數(shù)的綜合題.
練習(xí)冊系列答案
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a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)當a∈[-2,
1
4
)
時,求f(x)的最大值;
(2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點的連線的斜率,否存在實數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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34
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