Question

10．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2017，則不等式e^xf（x）＞e^x+2016（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）∪（0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （2016，+∞）
• D． （-∞，0）∪（2016，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，則可判斷g′（x）＞0，故g（x）為增函數(shù)，結(jié)合g（0）=2016即可得出答案．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，e^x＞0，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴g（x）是R上的增函數(shù)，
又g（0）=f（0）-1=2016，
∴g（x）＞2016的解集為（0，+∞），
即不等式e^xf（x）＞e^x+2016的解集為（0，+∞）．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．