Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

3

2

，a_n=2-

1

an-1

（n≥2），S_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，且有

Sn

2

=1+

n-1

n

b_n．
（1）證明：數(shù)列{

1

an-1

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）設(shè)c_n=

an

bn

，記數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式

分析：（1）化簡a_n=2-

1

an-1

，化出

1

an-1

的形式，（2）由a_n=s_n-s_n-1化簡，得到遞推公式，再推通項公式；（3）利用裂項求和法求和證明不等式成立．

解答： 解：（1）證明：∵an=

2an-1-1

an-1

(n≥2)，
∴an-1=

2an-1-1

an-1

-1=

an-1-1

an-1

，
∴

1

an-1

=

an-1

an-1-1

=

(an-1-1)+1

an-1-1

=

1

an-1-1

+1(n≥2)，
即：∴

1

an-1

-

1

an-1-1

=1(n≥2)．
∴數(shù)列{

1

an-1

}是以

1

a1-1

=2為首項，1為公差的等差數(shù)列．
（2）當(dāng)n≥2時，bn=Sn-Sn-1=(2+

2n-2

n

bn)-(2+

2n-4

n-1

bn-1)，
bn=

2n-2

n

bn-

2n-4

n-1

bn-1⇒

bn

n

=

2

n-1

bn-1，
即：

bn

bn-1

=

2n

n-1

(n≥2)；
∴

b2

b1

×

b3

b2

×

b4

b3

×…×

bn

bn-1

=

2×2

1

×

2×3

2

×

2×4

3

×…×

2×n

n-1

⇒

bn

b1

=n?2n-1，
當(dāng)n=1時，b₁=S₁=2，∴bn=n?2n．
（3）證明：由（1）知：

1

an-1

=2+(n-1)×1=n+1
∴an-1=

1

n+1

，
∴cn=

an

bn

=

n+2

n(n+1)?2n

=

1

n?2n-1

-

1

(n+1)2n

，
∴Tn=

n

i=1

ci=(1-

1

2×21

)+(

1

2×21

-

1

3×22

)+…+(

1

n?2n-1

-

1

(n+1)?2n

)=1-

1

(n+1)?2n

＜1．

點評：本題全面考查了數(shù)列的相關(guān)知識，有等差數(shù)列的證明，也用到了通項與前n項之間的普遍關(guān)系，同時考查了裂項求和的方法，屬于難題．