Question

18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²
（Ⅰ）求角B的大�。�
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（A）=2sin²（A+$\frac{π}{4}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）取最大值時(shí)，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意和余弦定理化簡后求出cosB的值，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出角B；
（Ⅱ）由二倍角余弦公式的變形、誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦函數(shù)、兩角差的正弦函數(shù)化簡f（A），由內(nèi)角和定理和條件求出A的范圍，利用正弦函數(shù)的最值求出A，即可判斷出△ABC的形狀．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∵4a²cosB-2accosB=a²+b²-c²，
∴4a²cosB-2accosB=a²+（a²+c²-2accosB）-c²，
化簡得，cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）f（A）=2sin²（A+$\frac{π}{4}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）
=1-cos（2A+$\frac{π}{2}$）-cos（2A+$\frac{π}{6}$）
=1+sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A+$\frac{1}{2}$sin2A
=1+$\frac{3}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2A=$\sqrt{3}sin（2A-\frac{π}{6}）+1$，
∵B=$\frac{π}{3}$，∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，則$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
當(dāng)$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時(shí)，即A=$\frac{π}{3}$，f（A）取到最大值，
此時(shí)△ABC是正三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余弦定理，正弦函數(shù)的最值，以及二倍角余弦公式的變形等公式的應(yīng)用，考查化簡、化簡能力．