Question

6．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知$\sqrt{3}$acosC-csinA=$\sqrt{3}$b．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=7，△ABC的周長(zhǎng)為15，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)已知的式子，由內(nèi)角的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A；
（Ⅱ）由題意求出b+c的值，由條件和余弦定理列出方程化簡(jiǎn)后求出bc的值，由三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}$acosC-csinA=$\sqrt{3}$b，
∴由正弦定理得，$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=$\sqrt{3}$sinB，
又A+B+C=π，則$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=$\sqrt{3}$sinB=$\sqrt{3}$sin（A+C），
∴$\sqrt{3}$sinAcosC-sinCsinA=$\sqrt{3}$（sinAcosC+cosAsinC）
化簡(jiǎn)得，-sinCsinA=$\sqrt{3}$cosAsinC，
∵sinC≠0，∴-sinA=$\sqrt{3}$cosA，則tanA=$-\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$；
（Ⅱ）∵a=7，△ABC的周長(zhǎng)為15，∴b+c=8，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
∴64-bc=49，則bc=15，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}×15×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查余正弦定理、弦定理，三角形的面積公式，以及兩角和的正弦函數(shù)等公式的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、化簡(jiǎn)能力．