已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+1)•ex
(I)當(dāng)a=3時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(II)對(duì)任意b>0,f(x)在區(qū)間[b-lnb,+∞)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】分析:(I)確定切點(diǎn)的坐標(biāo),求得切線的斜率,即可得到曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(II)先將對(duì)任意b>0,f(x)在區(qū)間[b-lnb,+∞)上是增函數(shù),轉(zhuǎn)化為f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),再分類(lèi)討論,即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(I)當(dāng)a=3時(shí),f(x)=(x2-3x+1)•ex,∴f′(x)=(x2-x-2)•ex
∴f′(1)=-2e;
∵f(1)=-e
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+e=-2e(x-1),即2ex+y-e=0;
(II)f′(x)=(x+1)(x+1-a)•ex
記g(x)=x-lnx(x>0),則g′(x)=
∴g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),在(0,1)是減函數(shù)
∴g(x)min=g(1)=1-ln1=1
∵對(duì)任意b>0,f(x)在區(qū)間[b-lnb,+∞)上是增函數(shù),
∴f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
當(dāng)a-1≤1,即a≤0時(shí),顯然成立;
當(dāng)a-1>-1,即a>0時(shí),必修a-1≤1,即0<a≤2
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤2.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱(chēng),求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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