Question

已知橢圓C：，離心率，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（a，0），B（0，b），點(diǎn)O到直線AB的距離為
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)M（0，2）作傾斜角為銳角的直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P，Q，若=，求直線l的方程．

Answer 1

解：（1）∵A（a，0），B（0，b），
∴直線AB的方程為，即bx+ay-ab=0，
∵點(diǎn)O到直線AB的距離為，∴，①
∵離心率，∴②
聯(lián)立①②得：a²=2，b²=1，
∴所求橢圓方程為：．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M(jìn)（0，2），=，
∴=（x₁，y₁-2），，
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+2，
由，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
∵直線l交橢圓C于不同的兩點(diǎn)P，Q，
∴△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，解得．
，，
∵=，=（x₁，y₁-2），，
∴，=，解得，
∴直線l的傾斜角為銳角，∴k=，
∴直線l的方程為y=x+2．
分析：（1）由A（a，0），B（0，b），知直線AB的方程為bx+ay-ab=0，由點(diǎn)O到直線AB的距離為，知，再由，能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+2，由，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），，，由M（0，2），=，知=（x₁，y₁-2），，，由此能求出直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意點(diǎn)到直線的距離公式和向量知識(shí)的合理運(yùn)用．