Question

11．已知等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=1，公比為q；等差數(shù)列{b_n}中，b₁=3，且{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃+S₃=27，q=$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$．
（Ⅰ）求{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{9}{2{S}_{n}}$，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)出等差數(shù)列{b_n}的公差d，列出方程組求出公差與公比，即可寫出{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由題意得出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，用裂項(xiàng)法即可求出{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}{+S}_{3}=27}\\{q=\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{q}^{2}+3d=18}\\{6+d{=q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{q=3}\\{d=3}\end{array}\right.$；…（4分）
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1，
{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=3n…（6分）
（Ⅱ）由題意得：S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，…（8分）
∴數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式為
c_n=$\frac{9}{{2S}_{n}}$=$\frac{9}{2}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=3（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），…（10分）
∴{c_n}的前n項(xiàng)和為
T_n=3[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=$\frac{3n}{n+1}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用問題，也考查了裂項(xiàng)求和的應(yīng)用問題，是綜合性題目．