Question

9．若對可導(dǎo)函數(shù)f（x），恒有f（x）+xf'（x）＞0，則f（x）（　�。�

• A． 恒大于0
• B． 恒小于0
• C． 恒等于0
• D． 和0的大小關(guān)系不確定

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），x∈R．對x分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可得出．

解答 解：令g（x）=xf（x），x∈R．
∵g′（x）=x′f（x）+x•f′（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）是R上的增函數(shù)，又g（0）=0，
∴x＞0時，g（x）＞g（0），即xf（x）＞0，∴f（x）＞0；
x＜0時，g（x）＜g（0），即xf（x）＜0，∴f（x）＞0．
x=0時，也有f（0）＞0，否則與g′（x）＞0矛盾．
綜上可得：x∈R時，恒有f（x）＞0．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了構(gòu)造法、分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．