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8.已知函數(shù)f(x)=alnx-x-ax+2a(其中a∈R).
(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 當(dāng)a>0時,是否存在實數(shù)a,使得當(dāng)x∈[1,e]時,不等式f(x)>0恒成立,如果存在,求a的取值范圍,如果不存在,說明理由(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…).

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)通過討論a的范圍,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的最小值,從而確定a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)由f(x)=alnx-x-ax+2a,(x>0),f′(x)=x2+ax+ax2,
①a≤0時,f′(x)<0恒成立,
于是f(x)的遞減區(qū)間是(0,+∞),
②a>0時,令f′(x)>0,解得:0<x<a+a2+4a2,
令f′(x)<0,解得:x>a+a2+4a2,
故f(x)在(0,a+a2+4a2)單調(diào)遞增,在(a+a2+4a2,+∞)單調(diào)遞減;
(Ⅱ)a>0時,
①若a+a2+4a2≤1,即0<a≤12,此時f(x)在[1,e]遞減,
f(x)min=f(e)=3a-e-ae=(3-1e)a-e≤(3-1e)×12-e<0,
f(x)>0恒成立,不合題意,
②若e>a+a2+4a2>1,解得:12<a<e2e+1時,
此時f(x)在(1,a+a2+4a2)單調(diào)遞增,在(a+a2+4a2,e)單調(diào)遞減,
要使在[1,e]恒有f(x)>0恒成立,
則必有{f10fe0,則{a103aeae0,解得:e23e1<a<e2e+1,
③若a+a2+4a2≥e,即a≥e2e+1時,
f(x)在[1,e]單調(diào)遞增,令f(x)min=f(1)=a-1>0,解得:a≥e2e+1
綜上,存在實數(shù)a∈(e23e1,+∞),使得f(x)>0恒成立.

點評 本題考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查分類討論思想,屬于中檔題.

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