Question

16．已知函數(shù)f（x）=2x+sinx+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），若不等式f（3^x-9^x）+f（m•3^x-3）＜0對(duì)任意x∈R均成立，則m的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，2$\sqrt{3}$-1）
• B． （-∞，-2$\sqrt{3}$+1）
• C． （-2$\sqrt{3}$+1，2$\sqrt{3}$-1）
• D． （-2$\sqrt{3}$+1，+∞）

Answer 1

分析 由函數(shù)解析式可得函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，把不等式不等式f（3^x-9^x）+f（m•3^x-3）＜0對(duì)任意x∈R均成立轉(zhuǎn)化為m＜$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1恒成立，然后利用基本不等式求得其取值范圍．

解答 解：∵f（x）=2x+sinx+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），其定義域?yàn)镽，
且f（-x）=-2x+sin（-x）+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=-（2x+sinx+ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）=-f（x），
∴f（x）為實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，
又f′（x）=2+cosx+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＞0在實(shí)數(shù)集上恒成立，
∴f（x）為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)．
∵不等式f（3^x-9^x）+f（m•3^x-3）＜0對(duì)任意x∈R均成立，
∴不等式f（3^x-9^x）＜-f（m•3^x-3）對(duì)任意x∈R均成立，
∴不等式f（3^x-9^x）＜f（-m•3^x+3）對(duì)任意x∈R均成立，
∵f（x）為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
∴3^x-9^x＜-m•3^x+3，
∴m＜$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1，
∵$\frac{3}{{3}^{x}}+{3}^{x}$-1≥2$\sqrt{3}$-1，
∴m＜2$\sqrt{3}$-1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及圓的有關(guān)知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是把“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運(yùn)算量，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用，是中檔題．